Question

在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60°，
求：（1）直線PA與底面ABCD所成的角；
（2）四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）在四棱錐P-ABCD中，說明∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PAO是PA與平面ABCD所成的角．△AOB是直角三角形，求出∠BAO=30°，即可．
（2）在Rt△POB中，求出PO=BOtan60°=

3

，求出底面菱形的面積為S=AB×ADsin60°=2

3

，然后求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答：解：（1）在四棱錐P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD，
得PO⊥AO，PO⊥BO，
所以∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，
所以∠PBO=60°，且∠PAO是PA與平面ABCD所成的角．（4分）
因為底面ABCD是菱形，O是對角線的交點，∠DAB=60°
所以△AOB是直角三角形，
且∠BAO=30°，（5分）
（2）在Rt△AOB中，BO=ABsin∠BAO=2sin30°=1，AO=ABcos∠BAO=

3

（7分）
于是在Rt△POB中，得PO=BOtan60°=

3

，
所以在Rt△POA中，tan∠PAO=

PO

AO

=1，∠PAO=45°，
所以PA與平面ABCD所成的角為45°（9分）
而底面菱形的面積為S=AB×ADsin60°=2

3

．
所以四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×2

3

×PO=

2 3

3

×

3

=2．（13分）

點評：本題是中檔題，考查直線與平面所成角正弦值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關(guān)鍵．