Question

若f（x）=

m+n-2 x

1+2 x

（其中m＞0，n＞0）是奇函數(shù)，則代數(shù)式

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)f（x）=

m+n-2 x

1+2 x

是奇函數(shù)，得到m+n=1，然后，在不等式中利用“1”的代換，進(jìn)一步利用均值不等式求解最小值．

解答： 解：∵f（x）=

m+n-2 x

1+2 x

是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴

m+n-2-x

1+2-x

+

m+n-2 x

1+2 x

=0，
∴m+n-1=0，
∴m+n=1，
∵m＞0，n＞0，
∴代數(shù)式

1

m

+

1

n

=（m+n）（

1

m

+

1

n

）
=2+

m

n

+

n

m

≥2+2，（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

1

2

時(shí)等號(hào)成立），
∴代數(shù)式

1

m

+

1

n

的最小值為4．
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用等知識(shí)，注意利用均值不等式時(shí)，一定要驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于中檔題．