Question

某同學(xué)對(duì)函數(shù)f（x）=xsinx進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=z有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
④當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，所以是軸對(duì)稱圖形；
②作差，由正弦函數(shù)有界性，②∵|sinx|≤1，即可判斷不等式成立；
③聯(lián)立方程，解出x，由x的值可得，每相鄰兩面?zhèn)�值不一定相等，如-

3π

2

，0，

π

2

，距離不相等；
④聯(lián)立方程，由方程組只有一個(gè)解，所以兩面圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答： 解：①∵f（x） 為偶函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形，∴①對(duì)；
②∵|sinx|-1≤0，∴|x|（|sinx|-1）≤0，即|xf（x）|≤|x|，∴②對(duì)；，
③∵xsinx=x，x（sinx-1）=0，∴x=0或sinx=1，∴兩圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：x=0，x=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴兩圖象有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，但任意相鄰兩點(diǎn)的距離不一定相等；
④

y=kx y=xsinx

，kx=xsinx⇒x（k-sinx）=0，∵|k|＞1，∴k-sinx≠0，∴x=0，即兩面圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴④對(duì)．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了，函數(shù)與方程思想，零點(diǎn)，正弦函數(shù)有界性，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，等知識(shí)，屬于中檔題．