Question

已知函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，且其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；  
（2）求函數(shù)的極大值與極小值的差．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，可知x=2為y′=0的根，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義有k=y′|_x=1，列出關(guān)于a，b的方程組，求解可得到y(tǒng)的解析式，令y′＞0和y′＜0，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 
（2）根據(jù)（1）可得y′=0的根，再結(jié)合單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值與極小值，從而求得答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，
∴當(dāng)x=2時，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函數(shù)圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
聯(lián)立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，則y'=3x²-6x，
令y'=3x²-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x²-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在x=0時取得極大值c，在x=2時取得極小值c-4，
∴函數(shù)的極大值與極小值的差為c-（c-4）=4．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．