Question

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且，(為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(Ⅰ)求橢圓的方程；

 (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)?若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）見(jiàn)解析.

【解析】（1）由，又，.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，從而得.（2）寫出動(dòng)直線的方程為：與橢圓的方程為：  聯(lián)立消去，由韋達(dá)定理求出設(shè)定點(diǎn)M（0，m），根據(jù)恒成立.求得m=1.

解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061922221987586722/SYS201206192224098133127108_DA.files/image012.png">，所以.   ………………2分

∵，∴⊥，∴；

又∵，∴，

∴.b=1. 因此所求橢圓的方程為：     ………4分

 (Ⅱ)動(dòng)直線的方程為：

由得

設(shè)

則 …………………………………8分

假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)M（0，m），滿足題設(shè)，則

          ………………………………12分

由假設(shè)得對(duì)于任意的恒成立，

即 解得m=1.

因此，在y軸上存在定點(diǎn)M，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）.………………………………………………………14分，.