Question

17．已知函數(shù)$f（x）=Asin（{ωx+φ}），（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}），x∈R，f（x）$的最小值為-4，f（0）=2$\sqrt{2}$，且相鄰兩條對稱軸之間的距離為π．
（I）當(dāng)$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（II）若$x∈（{\frac{π}{2}，π}）$，且$f（x）=1，求cos（{x+\frac{5π}{12}}）$的值．

Answer 1

分析 （I）利用條件求出f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值；
（2）由f（x）=1得sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，求出cos（x+$\frac{π}{4}$），再利用和角公式計(jì)算cos（x+$\frac{5π}{12}$）．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的最小值是-4，A＞0，∴A=4，
∴f（0）=4sinφ=2$\sqrt{2}$，∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{4}$．
∵f（x）相鄰兩條對稱軸之間的距離為π，
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1．
∴$f（x）=4sin（x+\frac{π}{4}）$．
∵$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，∴$x+\frac{π}{4}∈[-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$即x=-$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值f（-$\frac{π}{2}$）=-2$\sqrt{2}$，
當(dāng)x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{4}$時，f（x）取得最大值f（$\frac{π}{4}$）=4．
 （Ⅱ）∵$f（x）=4sin（x+\frac{π}{4}）=1$，∴$sin（x+\frac{π}{4}）=\frac{1}{4}$，
∵$x∈（\frac{π}{2}，π）$，∴$x+\frac{π}{4}∈（\frac{3π}{4}，\frac{5π}{4}）$，∴$cos（x+\frac{π}{4}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴$cos（x+\frac{5π}{12}）=cos（x+\frac{π}{4}+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos（x+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}sin（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}×（-\frac{{\sqrt{15}}}{4}）-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{{-3\sqrt{5}-1}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．