Question

定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，下面五個(gè)關(guān)于f（x）的命題中：
①f（x）是周期函數(shù)；
②f（x）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；
③f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f（x）在[1，2]上為減函數(shù)；
⑤f（2）=f（0），
正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：由題意義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
解答：解：因?yàn)榱x在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），式子中的x 都被x+1代替可得：f（x+2）=-f（x+1）=f（x），利用函數(shù)周期的定義可知：該函數(shù)有周期T=2，又且f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，利用條件可以畫一草圖分析如下：



由題意及圖形可知①⑤正確；②正確；③錯(cuò)誤；④錯(cuò)誤；
故選C
點(diǎn)評(píng)：此題考查了函數(shù)的周期的定義，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反這一結(jié)論，還考查了學(xué)生對(duì)于解決問題時(shí)的數(shù)形結(jié)合能力．