【題目】如圖,四邊形中(圖1),是的中點,, ,將(圖1)沿直線折起,使二面角為(如圖2).
圖1 圖2
(1)求證:平面;
(2)求異面直線與所成角的余弦值;
(3)求點到平面的距離.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)取中點,連接,,故,,滿足,, 所以是為斜邊的直角三角形,,因是的中點,所以為的中位線,由此能夠證明平面;(2)以為原點為軸,為軸,建立空間直角坐標系由,知,由此能求出異面直線與所成角;(3)由,知,滿足,是平面的一個法向量,由此能求出點到平面的距離.
(1)
如圖取BD中點M,連接AM,ME.因,
因,滿足:,
所以是BC為斜邊的直角三角形,,
因是的中點,所以ME為的中位線,
,,
是二面角的平面角=,
,且AM、ME是平面AME內兩相交于M的直線
平面AEM,
因,為等腰直角三角形,
,
.
(2)如圖,以M為原點MB為x軸,ME為y軸,建立空間直角坐標系,
則由(1)及已知條件可知B(1,0,0),,
,D,C,
設異面直線與所成角為,
則,
,
由可知滿足,
是平面ACD的一個法向量,
記點到平面的距離d,則在法向量方向上的投影絕對值為d
則,所以d.
(2),(3)解法二:
取AD中點N,連接MN,則MN是的中位線,MN//AB,又ME//CD
所以直線與所成角為等于MN與ME所成的角,
即或其補角中較小之一 ,
,N為在斜邊中點
所以有NE=,MN=,ME=,
,
=.
(3)記點到平面的距離d,則三棱錐B-ACD的體積,
又由(1)知AE是A-BCD的高、,
,
E為BC中點,AEBC又,,
,
所以到平面的距離.
解法三:(1) 因,滿足:,,
如圖,以D為原點DB為x軸,DC為y軸,建立空間直角坐標系,
則條件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),, A(a,b,c) (由圖知a>0,b>0,c>0) ,
得
平面BCD的法向量可取,
,所以平面ABD的一個法向量為
則銳二面角的余弦值
從而有,
所以平面
(2)由(1),D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0),
設異面直線與所成角為,則,
(3)由可知滿足,
是平面ACD的一個法向量,
記點到平面的距離d,則在法向量方向上的投影絕對值為d
則, 所以d.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓,直線,動圓P與圓M相外切,且與直線l相切.設動圓圓心P的軌跡為E.
(1)求E的方程;
(2)若點A,B是E上的兩個動點,O為坐標原點,且,求證:直線AB恒過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】銀川市展覽館22天中每天進館參觀的人數(shù)如下:
180 158 170 185 189 180 184 185 140 179 192
185 190 165 182 170 190 183 175 180 185 148
計算參觀人數(shù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、標準差(保留整數(shù)部分).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),在上是增函數(shù),且,給出下列結論,
①若且,則;
②若且,則;
③若方程在內恰有四個不同的實根, , , ,則或8;
④函數(shù)在內至少有5個零點,至多有13個零點.
其中結論正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M: 及其上一點A(2,4)
(1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程;
(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點,且BC=OA,求直線l的方程;
(3)設點T(t,o)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(Ⅰ)若在點處的切線與軸平行,且在區(qū)間上存在最大值,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)當時,求不等式恒成立時的最小整數(shù)值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù)f(x)滿足當﹣1≤x<0時,f(x)=.
(1)求f(x)在[﹣1,1]上的解析式;
(2)當x∈(0,1]時,函數(shù)g(x)=﹣m有零點,試求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若對任意,都有,求的取值范圍;
(3)證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.
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