Question

【題目】已知橢圓，拋物線的準線與橢圓交于兩點，過線段上的動點作斜率為正的直線與拋物線相切，且交橢圓于兩點.

（Ⅰ）求線段的長及直線斜率的取值范圍；

（Ⅱ）若，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）橢圓方程和拋物線方程聯立，求出兩點的坐標，直接求出線段的長利用導數求出拋物線的切線的斜率，求出切線方程，利用動點的橫坐標的取值范圍可以求出直線斜率的取值范圍；

（Ⅱ）切線方程與橢圓方程聯立，利用根與系數關系，結合弦長公式，可求兩點距離，以及點到直線的距離，利用面積公式，求出面積的表達式，利用換元法、求出求面積的最大值.

（Ⅰ）由題意得：，，所以，

設直線與拋物線切于，∵，∴，則切線方程為，當時，，.

（Ⅱ）切線與橢圓聯立，

∴，，

得，，

令，

.

當且僅當.

解法二：同上聯立

，

當且僅當.