Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)．
（1）求a、b的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²）+f（2t-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，滿足f（-x）=-f（x），把x=0，和x=1代入，即可得到關(guān)于a，b的兩個等式，解方程組求出a，b的值
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，將抽象不等式f（t²）+f（2t-k）＜0，化為二次不等式，進(jìn)而可得k的取值范圍

解答：解：∵定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數(shù)，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(-1)

，
即

-1+b 2+a =0 -21+b 21+1+a =- -2-1+b 2-1+1+a

解得

a=2 b=1

∴a的值是2，b的值是1．
（2）由（1）得f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

則函數(shù)函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減
又∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（t²）+f（2t-k）＜0可轉(zhuǎn)化為f（t²）＜-f（2t-k）
即f（t²）＜f（k-2t）
∴t²＞k-2t
則k＜t²+2t
令y=t²+2t，則y_min=-1
故k＜-1
即k的取值范圍為：（-∞，-1）．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．