Question

已知函數y=

2x+a

x+1

（a≠2），判斷該函數的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：先判斷，再證明，證明分取值，作差，化簡變形，判號，下結論五步．

解答： 解：當a＜2時，函數y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上是增函數；
當a＞2時，函數y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1），（-1，+∞）上是減函數．證明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
則y₁-y₂=

2x1+a

x1+1

-

2x2+a

x2+1

=

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
則當a＜2時，

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
則函數y=

2x+a

x+1

在（-1，+∞）上是增函數；
當a＞2時，

(2-a)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，
則函數y=

2x+a

x+1

在（-1，+∞）上是減函數；
同理，當a＜2時，函數y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1）上是增函數；
當a＞2時，函數y=

2x+a

x+1

在（-∞，-1）上是減函數．

點評：本題考查了函數單調性的證明，一般有兩種方法，定義法，導數法．