【題目】已知直線y=﹣x+1與橢圓 + =1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若橢圓的離心率為 ,焦距為2,求線段AB的長;
(2)若向量 與向量 互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率e∈[ , ]時(shí),求橢圓的長軸長的最大值.
【答案】
(1)解:∵ ,2c=2,
∴a= ,b= ,
∴橢圓的方程為 .
聯(lián)立 ,消去y得:5x2﹣6x﹣3=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 , ,
∴|AB|=
=
= .
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
∵ ,∴ ,
即x1x2+y1y2=0,
由 ,消去y得(a2+b2)x2﹣2a2x+a2(1﹣b2)=0,
由△=(﹣2a2)2﹣4a2(a2+b2)(1﹣b2)>0,整理得a2+b2>1
∵ , ,
∴y1y2=(﹣x1+1)(﹣x2+1)=x1x2﹣(x1+x2)+1,
∴x1x2+y1y2=0,得:2x1x2﹣(x1+x2)+1=0,
∴ ,
整理得:a2+b2﹣2a2b2=0.
∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2,代入上式得
2a2=1+ ,∴ ,
∵ ,
∴ ,∴ ,
∴ ,∴ ,
∴ 適合條件a2+b2>1.
由此得 ,∴ ,
故長軸長的最大值為 .
【解析】(1)由橢圓的離心率為 ,焦距為2,求出橢圓的方程為 .聯(lián)立 ,消去y得:5x2﹣6x﹣3=0,再由弦長公式能求求出|AB|.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由 ,知x1x2+y1y2=0,由 ,消去y得(a2+b2)x2﹣2a2x+a2(1﹣b2)=0,再由根的判斷式得到a2+b2>1,利用韋達(dá)定理,得到a2+b2﹣2a2b2=0.由此能夠推導(dǎo)出長軸長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過點(diǎn).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并判斷奇偶性;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(﹣,0)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性定義證明.
(3)作出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的大致圖象(不必寫出作圖過程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓Γ: =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 焦距為2c,若直線y= 與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 , 則該橢圓的離心率等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市出租車的現(xiàn)行計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是:路程在2 km以內(nèi)(含2 km)按起步價(jià)8元收取,超過2 km后的路程按1.9 元/km收取,但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價(jià)為1.9×(1+50%)=2.85(元/km)).
(1)將某乘客搭乘一次出租車的費(fèi)用f(x)(單位:元)表示為行程x(0<x≤60,單位:km)的分段函數(shù);
(2)某乘客的行程為16 km,他準(zhǔn)備先乘一輛出租車行駛8 km后,再換乘另一輛出租車完成余下行程,請問:他這樣做是否比只乘一輛出租車完成全部行程更省錢?
(現(xiàn)實(shí)中要計(jì)等待時(shí)間且最終付費(fèi)取整數(shù),本題在計(jì)算時(shí)都不予考慮)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a1=2,an+1=2Sn+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),且bn是 與 的等比中項(xiàng),求bn的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】濮陽市黃河灘區(qū)某村2010年至2016年人均純收入(單位:萬元)的數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均純收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(Ⅰ)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2010年至2016年該村人均純收入的變化情況,并預(yù)測該村2017年人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小乘法估計(jì)公式分別為: = , = ﹣ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷并證明)在)上的單調(diào)性;
(3)若對任意恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= ,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角E—AC—D的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面EAC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為減少空氣污染,某市鼓勵(lì)居民用電(減少燃?xì)饣蛉济海,采用分段?jì)費(fèi)的方法計(jì)算:電費(fèi)每月用電不超過100度時(shí),按每度0.57元計(jì)算;每月用電量超過100度時(shí),其中的100度仍按原標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi),超過的部分每度按0.5元計(jì)算.
(Ⅰ)設(shè)月用電度時(shí),應(yīng)交電費(fèi)元,寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)小明家第一季度繳納電費(fèi)情況如下:
月份 | 一月 | 二月 | 三月 | 合計(jì) |
交費(fèi)金額 | 76元 | 63元 | 45.6元 | 184.6元 |
問小明家第一季度共用電多少度?
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