Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-3|（a＜3）．
（1）若不等式f（x）≥4的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$}，求a的值；
（2）若對(duì)?x∈R，f（x）+|x-3|≥1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）=|x-a|+|x-3|（a＜3）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+3}{2}$對(duì)稱，且f（x）≥4的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$}，則有 $\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$=a+3，由此求得a的值．
（2）由題意可得|x-a|+|x-3|≥1-|x-3|恒成立，求得左邊的最小值3-a，和右邊的最大值1，故有3-a≥1，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）由已知易得函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-3|（a＜3）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+3}{2}$對(duì)稱，
又f（x）≥4的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{9}{2}$}，則 $\frac{1}{2}$+$\frac{9}{2}$=a+3，即a=2．
（2）不等式f（x）+|x-3|≥1 恒成立，即|x-a|+|x-3|≥1-|x-3|恒成立，
由圖象可知f（x）=|x-a|+|x-3|在x=3處取得最小值3-a，
而1-|x-3|在x=3處取得最大值為1，故3-a≥1，得a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．