Question

3．若函數(shù)f（x）的圖象從左到右先增后減，則稱函數(shù)f（x）為“∩型函數(shù)”，圖象的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為“∩點(diǎn)”．
（1）分別判斷函數(shù)f（x）=lnx-x與函數(shù)g（x）=x²-3x+lnx是否為“∩型函數(shù)”．若是，求出它的“∩點(diǎn)”，若不是，試說明理由．
（2）若關(guān)于x的方程g（x）+b=0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）證明：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}}$-3×$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k-1}{k}$＜lnn-n+1．

Answer 1

分析 （1）f（x）為“∩型函數(shù)”，且它的“∩點(diǎn)”為1；g（x）不為“∩型函數(shù)”．分別求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到結(jié)論；
（2）由（1）求得g（x）的最小值和端點(diǎn)的函數(shù)值，關(guān)于x的方程g（x）+b=0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即為-b=g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．即可得到b的范圍；
（3）由（2）可得函數(shù)g（x）=x²-3x+lnx（x＞0）在（0，$\frac{1}{2}$）上遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）上遞減，即有g(shù)（x）≤g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，即為x²-3x≤-$\frac{5}{4}$-ln2-lnx，再由累加法即可得證．

解答 解：（1）f（x）為“∩型函數(shù)”，且它的“∩點(diǎn)”為1；g（x）不為“∩型函數(shù)”．
理由：函數(shù)f（x）=lnx-x（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，由f′（x）＜0，可得x＞1，
即f（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）遞減，
則f（x）為“∩型函數(shù)”，且它的“∩點(diǎn)”為1；
函數(shù)g（x）=x²-3x+lnx（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
由g′（x）＞0，可得x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，由g′（x）＜0，可得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
即g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）上遞減，在（1，+∞）遞增．
則g（x）不為“∩型函數(shù)”．
（2）由（1）可得，g（x）在[$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，2]遞增，
則g（x）在x=1處取得最小值，且為-2，
又g（2）=ln2-2，g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，g（2）＞g（$\frac{1}{2}$），
關(guān)于x的方程g（x）+b=0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即為-b=g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
即有-2＜-b≤-$\frac{5}{4}$-ln2，
解得$\frac{5}{4}$+ln2＜b＜2．
（3）證明：由函數(shù)g（x）=x²-3x+lnx（x＞0）在（0，$\frac{1}{2}$）上遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）上遞減，
即有g(shù)（x）≤g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$-ln2，即為x²-3x≤-$\frac{5}{4}$-ln2-lnx，
則有$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}}$-3×$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k-1}{k}$＜（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{2}{3}$）+（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{3}{4}$
+…+（-$\frac{5}{4}$-ln2-ln$\frac{n-1}{n}$）=-（n-1）•（$\frac{5}{4}$+2）-ln（$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}$…$•\frac{n-1}{n}$）
=lnn-（n-1）•（$\frac{5}{4}$+2）＜lnn-n+1．
則$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}}$-3×$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k-1}{k}$＜lnn-n+1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查新定義的理解和運(yùn)用，運(yùn)用單調(diào)性得最值，結(jié)合累加法證明不等式，屬于中檔題．