Question

10．如圖，在△ABC中，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{BD}$，過點D的直線分別交直線AB，AC于點M，N．若$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$（λ＞0，μ＞0），則λ+2μ的最小值是$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 先確定λ，μ的關(guān)系，再利用導數(shù)法，即可求出λ+2μ的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MD}$+$\overrightarrow{DB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$
M，D，N三點共線，∴存在實數(shù)k，使$\overrightarrow{MD}$=k$\overrightarrow{MN}$=-kλ$\overrightarrow{AB}$+kμ$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴（$\frac{1}{3}$-kλ）$\overrightarrow{AB}$+（kμ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$
∴$\frac{1}{3}$-kλ=1-λ，kμ-$\frac{1}{3}$=0，
∴μ=$\frac{λ}{3λ-2}$，
∴λ+2μ=λ+$\frac{2λ}{3λ-2}$
設(shè)f（λ）=λ+$\frac{2λ}{3λ-2}$，λ＞0；
∴f′（λ）=$\frac{9{λ}^{2}-12λ}{（3λ-2）^{2}}$，令f′（λ）=0得，λ=0，或$\frac{4}{3}$；
∴λ∈（0，$\frac{4}{3}$）時，f′（λ）＜0，λ∈（$\frac{4}{3}$，+∞）時，f′（λ）＞0；
∴λ=$\frac{4}{3}$時，f（λ）取極小值，也是最小值；
∴f（λ）的最小值為$\frac{8}{3}$；
即λ+2μ的最小值為$\frac{8}{3}$．
故答案為：$\frac{8}{3}$．

點評 考查向量的加法、減法運算，共線向量基本定理，以及平面向量基本定理，通過求導求函數(shù)的最小值的方法及過程．