Question

若函數(shù)f(x)=

2(a-1)x2+bx+(a-1)-1

的定義域?yàn)镽，則b-3a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-3]
• B、[-3，+∞）
• C、（-∞，3]
• D、[3，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，由根式的意義，可將原題轉(zhuǎn)化為2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1對(duì)于任意x∈R恒成立問題，進(jìn)而由指數(shù)的性質(zhì)，可變形為t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立問題，由二次函數(shù)的性質(zhì)，分兩種情況討論，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為利用線性規(guī)劃求最值的問題，分析可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，若函數(shù)f(x)=

2(a-1)x2+bx+(a-1)-1

的定義域?yàn)镽，
則2^{（a-1）x2+bx+（a-1）}≥1對(duì)于任意x∈R恒成立，
令t=（a-1）x²+bx+（a-1），
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可轉(zhuǎn)化為t=（a-1）x²+bx+（a-1）≥0恒成立，
由二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得，必有
①當(dāng)a=1時(shí)，b=0，則b-3a=-3，
②當(dāng)a≠1時(shí)，有

a＞1 b2≤4(a-1)2

同時(shí)成立，
即

a＞1 -2(a-1)≤b≤2(a-1)

成立，
設(shè)Z=b-3a，
Z是直線b=3a+t經(jīng)過

a＞1 -2(a-1)≤b≤2(a-1)

確定的平面上的一點(diǎn)時(shí)在y軸上的截距，
由線性規(guī)劃的知識(shí)可得，Z＜3，
綜合①可得，Z=b-3a≤3，
故b-3a的取值范圍是（-∞，-3]，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合題，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，有一定的難度，解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求Z=b-3a的范圍．