Question

13．如圖：在邊長為6米的等邊△ABC鋼板內(nèi)，作一個△DEF，使得△DEF的三邊到△ABC所對應(yīng)的三邊之間的距離均x（0＜x＜$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）米，過點(diǎn)D分別向AB，AC邊作垂線，垂足依次為G，H；過點(diǎn)E分別向AB，BC邊作垂線，垂足依次為M，N；過點(diǎn)F分別向BC，AC邊作垂線，垂足依次為R，S．接著在△ABC的三個內(nèi)角處，分別沿DG，DH、EM，EN、FR，F(xiàn)S進(jìn)行切割，割去的三個全等的小四邊形分別為AGDH、BMEN、CRFS．然后把矩形GDEM、NEFR、SFDH分別沿DE、EF、FD向上垂直翻折，并對翻折后的鋼板進(jìn)行無縫焊接（注：切割和無縫焊接過程中的損耗和費(fèi)用忽略不計），從而構(gòu)成一個無蓋的正三棱柱蓄水池．
（1）若此無蓋的正三棱柱蓄水池的側(cè)面和底面造價均為a（a＞0）萬元/米²，求此無蓋的正三棱柱蓄水池總造價的最小值；
（2）若此無蓋的正三棱柱蓄水池的體積為V米³，求體積V的最大值．

Answer 1

分析 （1）連接BE，求出EN，設(shè)此無蓋長方體蓄水池的總造價為y（萬元），寫出y的表達(dá)式，然后求解最小值．（2）寫出無蓋長方體蓄水池的體積，利用公式的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可．

解答 （本小題滿分16分）
解：（1）連接BE，由題意可知，在RT△BEN中，
∵EN=x（米），∠EBN=30°
∴$tan{30^0}=\frac{EN}{BN}$，即$BN=\sqrt{3}x（米）$，…（2分）
即正△DEF的邊長為$6-2\sqrt{3}x（米）$，…（3分）
若設(shè)此無蓋長方體蓄水池的總造價為y（萬元），
則$y=[\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（6-2\sqrt{3}x）^2}+3（6-2\sqrt{3}x）•x]•a$（$0＜x≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$）…（5分）
=[$-3\sqrt{3}{x^2}+9\sqrt{3}$]•a
當(dāng)$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}（m）$時，${y_{min}}=5\sqrt{3}a$（萬元）
即此無蓋長方體蓄水池總造價的最小值為$5\sqrt{3}a$（萬元）…（8分）
（2）由題意可知，此無蓋長方體蓄水池的體積為：
$V=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（{6-2\sqrt{3}x}）^2}•x=\sqrt{3}（{3{x^3}-6\sqrt{3}{x^2}+9x}）$（$0＜x≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$），…（10分）
則V'=$\sqrt{3}（{9{x^2}-12\sqrt{3}x+9}）=3\sqrt{3}（{\sqrt{3}x-3}）（{\sqrt{3}x-1}）$，
令V'=0，并解之得$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，x=\sqrt{3}∉（{0，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$，…（12分）
當(dāng)$x∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$時，V'＞0，即函數(shù)V（x）在$x∈（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)$x∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$時，V'＜0，即函數(shù)V（x）在$x∈[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$為單調(diào)遞減函數(shù)，
則當(dāng)$x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（米）$時，${V_{max}}=4（{米^3}）$，…（15分）
即此無蓋長方體蓄水池的體積V的最大值為4（m³）．  …（16分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的最值，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．