Question

1．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知sin（A-$\frac{π}{6}$）=cosA，且a=3，則b+c的最大值是（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由sin（A-$\frac{π}{6}$）=cosA，展開可得sinA=$\sqrt{3}$cosA，解得A．由余弦定理與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：由sin（A-$\frac{π}{6}$）=cosA，展開可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA=cosA，故sinA=$\sqrt{3}$cosA，tanA=$\sqrt{3}$．又0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得：9=b²+c²-2bc$cos\frac{π}{3}$，可得：9=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3$（\frac{b+c}{2}）^{2}$，化為：（b+c）²≤36，即b+c≤6，
當且僅當b=c=3，即△ABC是正三角形時，b+c取最大值6．
故選：A．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理的應(yīng)用、三角函數(shù)求值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．