Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）不過原點O的直線l與橢圓C交于兩點M，N，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，問：直線l是否定向的，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2$\sqrt{3}$，列出方程組能求出橢圓C的標準方程．
（2）由題意設直線l的方程為y=kx+m，（km≠0），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+4kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、等比數(shù)列、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線l不定向．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2×2b}\\{2c=2\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由題意設直線l的方程為y=kx+m，（km≠0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+4kmx+4（m²-1）=0，
△=16（4k²-m²+1）＞0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$，
∵直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數(shù)列，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=k²，
∴-$\frac{8{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
∵m≠0，∴k²=$\frac{1}{4}$，方向向量$\overrightarrowezp1d53$=（±2，1）．
∴直線l不定向．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否定向的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、等比數(shù)列、橢圓性質(zhì)的合理運用．