精英家教網如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點
（1）求證：PA⊥平面CDM；
（2）求二面角D-MC-B的余弦值．
分析：（1）建立坐標系，求出直線PA所在的向量與平面CDM內兩個不共線的向量，根據(jù)向量的數(shù)量積為0得到線線垂直，進而得到線面垂直．
（2）分別求出兩個平面的法向量，利用向量間的運算關系求出兩個向量的夾角，再轉化為二面角的平面角．
解答：解：（1）作PO⊥CD于O，連接OA
由側面PDC與底面ABCD垂直，則PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
則∠DOA=90°，即OA⊥CD
分別以OA，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
由已知P(0，0，
3
)，A(
3
，0，0)，B(
3
，2，0)，D(0，-1，0)，C(0，1，0)，M(
3
2
，1，
3
2
)
PA
=(
3
，0，-
3
)，
DC
=(0，2，0)，
CM
=(
3
2
，0，
3
2
)
所以
PA
•
CM
=0，
PA
•
DC
=0，
所以PA⊥CM，PA⊥DC
又由CM∩DC=C，
所以PA⊥面CDM．
（2）設面MCB的法向量為
n
1=(x，y，z)
由
CM
=(
3
2
，0，
3
2
)，
CB
=(
3
，1，0)
3
2
x+
3
2
z=0
3
x+y=0
，
取x=1，可得
n1
 =(1，-
3
，-1)．
由（1）PA⊥面CDM，取面CDM的法向量為
n
2=(
3
，0，-
3
)
所以cos?
n
1，
n
2＞=
10
5
，
如圖二面角D-MC-B為鈍二面角設其大小為θ，
則cosθ=-
10
5
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征便于建立坐標系，進而利用空間向量解決空間角，空間距離與線面關系等問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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