Question

求g（x）=lnx-ax²在[1，2]上的最大和最小值．

Answer 1

分析：求導(dǎo)數(shù)g′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，分a≤0，a＞0兩種情況進(jìn)行討論：其中當(dāng)a＞0時(shí)，再按照極值點(diǎn)在區(qū)間的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)即分

1 2a

≤1，1＜

1 2a

＜2，

1 2a

≥2三種情況討論，由單調(diào)性可求得最值．

解答：解：g′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
令g′（x）=0得2ax²=1，①
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在[1，2]上為增函數(shù)，所以g（x）的最大值為g（2），最小值為g（1），
當(dāng)a＞0時(shí)，由①得x=

1 2a

，
（1）若

1 2a

≤1，即a≥

1

2

時(shí)，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴最大值為g（1），最小值為g（2）
（2）若1＜

1 2a

＜2，即

1

8

＜a＜

1

2

時(shí)，g（x）在（1，

1 2a

）上為增函數(shù)，在（

1 2a

，2）上為減函數(shù)，
∴最大值為g（

1 2a

）=-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值為g（2），g（1）中較小的數(shù)，
∵g（2）-g（1）=ln2-3a，
若a≤

1

3

ln2，則g（2）≥g（1）；若a＞

1

3

ln2，則g（2）＜g（1）；
所以當(dāng)

1

8

＜a≤

1

3

ln2時(shí)，最小值為g（1），當(dāng)

1

3

ln2＜a＜

1

2

時(shí)，最小值為g（2），
（3）當(dāng)

1 2a

≥2，即0＜a≤

1

8

時(shí)，g′（x）≥0，此時(shí)g（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
所以g（x）的最大值為g（2），最小值為g（1）；
綜上得：a≤

1

8

時(shí)，最大值為ln2-4a，最小值為-a；

1

8

＜a≤

1

3

ln2時(shí)，最大值為）=-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值為-a；

1

3

ln2＜a＜

1

2

時(shí)，最大值為）=-

1

2

ln2a-

1

2

，最小值為ln2=4a；
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，最大值為-a，最小值為ln2-4a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生推理論證能力，屬中檔題．