【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（是參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線(xiàn)的普通方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn)，是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離的最大值.

【答案】（1）的普通方程為：，的直角坐標(biāo)方程為：；（2）.

【解析】

（1）直接消參可得曲線(xiàn)的普通方程，整理可得，將代入即可求得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程，問(wèn)題得解。

（2）利用伸縮變換求得曲線(xiàn)：，利用橢圓的參數(shù)方程可設(shè)，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式及輔助角公式即可解決問(wèn)題。

解：（1）∵，消參可得曲線(xiàn)的普通方程為：，

∵，∴，

又∵,代入可得：.

故曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：.

（2）曲線(xiàn)：，經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn)的方程為：，

∴曲線(xiàn)的方程為：.

設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得

（其中），

∴點(diǎn)到曲線(xiàn)的距離的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知橢圓C： (a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0)，離心率為.直線(xiàn)y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．

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（1）證明：平面；

（2）已知與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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（2）若OA⊥OB ，求m的值；

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【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．

（1）證明：平面；

（2）線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)，并求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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【題目】統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為： ，已知甲、乙兩地相距100千米．

（1）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？

（2）當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

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【題目】設(shè)，若數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)所有，，且當(dāng)時(shí)，，則稱(chēng)為“數(shù)列”，設(shè)R，函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足，（）.

（1）若，而是數(shù)列，求的值；

（2）設(shè)，證明：存在，使得是數(shù)列，但對(duì)任意，都不是數(shù)列；

（3）設(shè)，證明：對(duì)任意，都存在，使得是數(shù)列.

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【題目】某電子科技公司由于產(chǎn)品采用最新技術(shù)，銷(xiāo)售額不斷增長(zhǎng)，最近個(gè)季度的銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（其中表示年第一季度，以此類(lèi)推）：

季度

季度編號(hào)x

銷(xiāo)售額y（百萬(wàn)元）

（1）公司市場(chǎng)部從中任選個(gè)季度的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，求這個(gè)季度的銷(xiāo)售額都超過(guò)千萬(wàn)元的概率；

（2）求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)該公司的銷(xiāo)售額.

附：線(xiàn)性回歸方程：其中，

參考數(shù)據(jù)：.

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