Question

【題目】設(shè)，若數(shù)列滿足：對(duì)所有，，且當(dāng)時(shí)，，則稱為“數(shù)列”，設(shè)R，函數(shù)，數(shù)列滿足，（）.

（1）若，而是數(shù)列，求的值；

（2）設(shè)，證明：存在，使得是數(shù)列，但對(duì)任意，都不是數(shù)列；

（3）設(shè)，證明：對(duì)任意，都存在，使得是數(shù)列.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明；(3)見證明

【解析】

（1），，分兩種情況討論得到.(2) 先證明當(dāng)，只需，即滿足，且當(dāng)，，所以是數(shù)列，，所以不是數(shù)列；再證明當(dāng)，只需，即滿足，且當(dāng)，，所以是數(shù)列，，所以不是數(shù)列.(3)通過歸納得到：當(dāng)m為奇數(shù)，在，有解，存在；

當(dāng)m為偶數(shù)，在，有解，存在.再結(jié)合函數(shù)映射性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)任意，都存在，使得是數(shù)列.

（1），，當(dāng)，，；

當(dāng)，，，不符；綜上所述，.

（2）當(dāng)，，，，，…，既不是數(shù)列，也不是數(shù)列；

當(dāng)，，，，，…，既不是數(shù)列，也不是數(shù)列；

當(dāng)，，，，，…，既不是數(shù)列，也不是數(shù)列；

當(dāng)，，，，，，…，只需，

即滿足，且當(dāng)，，∴是數(shù)列，，∴不是數(shù)列；

當(dāng)，，，，，，…，只需，

即滿足，且當(dāng)，，∴是數(shù)列，，∴不是數(shù)列；

綜上，存在，使得是數(shù)列，但對(duì)任意，都不是數(shù)列.

（3），當(dāng)，有解，存在；

，當(dāng)，有解，存在；

，當(dāng)，有解，存在；

，當(dāng)，有解，存在；

……，

當(dāng)m為奇數(shù)，在，有解，存在；

當(dāng)m為偶數(shù)，在，有解，存在；

結(jié)合函數(shù)映射性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，，

∴對(duì)任意，都存在，使得是數(shù)列.