Question

f（x）=|x³+a|（a∈R）在[-1，1]的最大值為M（a），若g（x）=M（x）-|x²+t|有4個(gè)零點(diǎn)，求t的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)M（a）的表達(dá)式，然后由g（x）=0得M（x）=|x²+t|，利用函數(shù)g（x）=M（x）-|x²+t|有4個(gè)零點(diǎn)，建立條件關(guān)系即可求出t的取值范圍．

解答： 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|x³+a|=|x³|為偶函數(shù)，此時(shí)最大值為M（a）=M（-1）=M（1），
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上的最大值為M（a）=f（1）=|1+a|=a+1，
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上的最大值為M（a）=f（-1）=|-1+a|=1-a，
即M（a）=

a+1，a≥0 1-a，a＜0

．
∴M（x）=

x+1，x≥0 1-x，x＜0

．
由g（x）=M（x）-|x²+t|=0得M（x）=|x²+t|，
設(shè)函數(shù)M（x），m（x）=|x²+t|，
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：
①若t≤0，要使g（x）=M（x）-|x²+t|有4個(gè)零點(diǎn)，
則兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有4個(gè)，此時(shí)滿足m（0）＞M（0），
即|t|＞1，解得t＜-1．
②若t＞0，則m（x）=|x²+t|=x²+t，
當(dāng)拋物線過點(diǎn)（0，1）時(shí)，t=1．
當(dāng)拋物線與直線相切時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，
由

y=x+1 y=x2+t

，此時(shí)x²-x+（t-1）=0，
由判別式△=1-4（t-1）=5-4t=0，
解得t=

5

4

．
要使g（x）=M（x）-|x²+t|有4個(gè)零點(diǎn)，
則兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有4個(gè)，此時(shí)滿足1＜t＜

5

4

．
綜上t＜-1或1＜t＜

5

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)條件求出M（a）的表達(dá)式是本題的難點(diǎn)．注意對t要進(jìn)行分類討論．綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)大．