Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

48

x

，x∈[-3，-1]．
（1）求f（x）的值域；
（2）設a≥1，函數(shù)g（x）=x³-3a²x+14a-1，若對于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的值域

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=2x-

48

x2

=

2x3-48

x2

；從而判斷函數(shù)的單調性，從而求值域．
（2）求導g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），從而可判斷g（x）=x³-3a²x+14a-1在[0，1]上是減函數(shù)，從而化恒成立問題為g（1）≤-47且g（0）≥-7；從而求解．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-

48

x2

=

2x3-48

x2

；
∵x∈[-3，-1]，
∴f′（x）＜0；
故f（-1）≤f（x）≤f（-3）；
即-47≤f（x）≤-7；
故f（x）的值域為[-47，-7]；
（2）g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），
∵a≥1，
∴當x∈[0，1]，g′（x）≤0；
故g（x）=x³-3a²x+14a-1在[0，1]上是減函數(shù)，
又∵f（x）的值域為[-47，-7]；
∴對于任意x₁∈[-3，-1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立可化為
g（1）≤-47且g（0）≥-7；
即3a²-14a-47≥0且14a-1≥-7；
解得，a≥

7+ 190

3

．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．