Question

5．已知雙曲線C：${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$與點(diǎn)P（1，2）．
（1）求過點(diǎn)P（1，2）且與曲線C只有一個交點(diǎn)的直線方程；
（2）是否存在過點(diǎn)P的弦AB，使AB的中點(diǎn)為P，若存在，求出弦AB所在的直線方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過直線的斜率不存在和存在2中情況，存在時，將直線代入曲線C，討論二次項(xiàng)系數(shù)結(jié)合根的判別式從而得到答案；
（2）假設(shè)存在，整理得到AB的斜率為$\frac{1}{2}$，從而得到直線AB的方程，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1，與曲線C有一個交點(diǎn)．…（1分）
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-1），代入C的方程，
并整理得（2-k²）x²+2（k²-2k）x-k²+4k-6=0 （^*）
（�。┊�(dāng)2-k²=0，即k=±$\sqrt{2}$時，方程（^*）有一個根，l與C有一個交點(diǎn)
所以l的方程為$\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}+2=0或\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}-2=0$…（3分）
（ⅱ）當(dāng)2-k²≠0，即k≠±$\sqrt{2}$時
△=[2（k²-2k）]²-4（2-k²）（-k²+4k-6）=16（3-2k），
①當(dāng)△=0，即3-2k=0，k=$\frac{3}{2}$時，方程（^*）有一個實(shí)根，l與C有一個交點(diǎn)．
所以l的方程為3x-2y+1=0…（6分）
綜上知：l的方程為x=1或$\sqrt{2}x-y-\sqrt{2}+2=0或\sqrt{2}x+y-\sqrt{2}-2=0$或3x-2y+1=0…（6分）
（2）假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則2x₁²-y₁²=2，2x₂²-y₂²=2，

兩式相減得2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）…（8分）
又∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=4，
∴2（x₁-x₂）=4（y₁-y₂）
即k_AB=$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，…（10分）
∴直線AB的方程為y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），…（11分）
代入雙曲線方程2x²-y²=2，可得，15y²-48y+34=0，
由于判別式為48²-4×15×34＞0，則該直線AB存在．    …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了直線和曲線的交點(diǎn)問題，考查直線方程問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．