Question

17．已知無(wú)窮數(shù)列{a_n}，滿足a_n+2=|a_n+1-a_n|，n∈N^*；
（1）若a₁=1，a₂=2，求數(shù)列前10項(xiàng)和；
（2）若a₁=1，a₂=x，x∈Z，且數(shù)列{a_n}前2017項(xiàng)中有100項(xiàng)是0，求x的可能值；
（3）求證：在數(shù)列{a_n}中，存在k∈N^*，使得0≤a_k＜1．

Answer 1

分析 （1）由條件分別計(jì)算前10項(xiàng)，即可得到所求和；
（2）討論x=1，2，3，…，計(jì)算得到數(shù)列進(jìn)入循環(huán)，求得數(shù)列中0的個(gè)數(shù)，即可得到所求值；
（3）運(yùn)用反證法證明，結(jié)合條件及無(wú)窮數(shù)列的概念，即可得證．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}，滿足a_n+2=|a_n+1-a_n|，n∈N^*；a₁=1，a₂=2，
則a₃=1，a₄=1，a₅=0，a₆=1，a₇=1，a₈=0，a₉=a₁₀=1．
∴數(shù)列前10項(xiàng)和S₁₀=1+2+6=9．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，數(shù)列數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017項(xiàng)中恰好含有672項(xiàng)為0；
當(dāng)x=2時(shí)，數(shù)列數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017項(xiàng)中恰好含有671項(xiàng)為0；
當(dāng)x=3時(shí)，數(shù)列數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017項(xiàng)中恰好含有671項(xiàng)為0；
當(dāng)x=4時(shí)，數(shù)列數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…
所以在前2017項(xiàng)中恰好含有670項(xiàng)；
當(dāng)x=5時(shí)，數(shù)列數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，0…
所以在前2017項(xiàng)中恰好含有670項(xiàng)為0；
…
由上面可以得到當(dāng)x=1144或x=1145時(shí)，在前2017項(xiàng)中恰好含有100項(xiàng)為0；
當(dāng)x=-1141或x=-1140時(shí)，在前2017項(xiàng)中恰好含有100項(xiàng)為0；
（3）證明：假設(shè)數(shù)列{a_n}中不存在a_k（k∈N^*），使得0≤a_k＜1，
則a_k＜0或a_k≥1（k=1，2，3，…）．
由無(wú)窮數(shù)列{a_n}，滿足a_n+2=|a_n+1-a_n|，n∈N^*，
可得a_k≥1，由于無(wú)窮數(shù)列{a_n}，對(duì)于給定的a₁，a₂，總可以相減后得到0，
故假設(shè)不成立．
在數(shù)列{a_n}中，存在k∈N^*，使得0≤a_k＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列求和、分類討論、反證法的運(yùn)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．