Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，則函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3．

Answer 1

分析 令f（x）=t，函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題?f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根的個(gè)數(shù)問題．結(jié)合圖象可得f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根t₁＜0，t₂∈（1，2）．f（x）=t₁無解，f（x）=t₂有3解，解得得到函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

解答 解：令f（x）=t，函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題?f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根的個(gè)數(shù)問題．
即y=f（t），y=2t+$\frac{3}{2}$的圖象如圖（1），結(jié)合圖象可得f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0的根t₁＜0，t₂∈（1，2）．
f（x）=t₁無解，f（x）=t₂有3解，
綜上，函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3．
故答案為：3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是合理利用換元思想求解，屬于中檔題．