Question

（本小題滿分14分）（注意：仙中、一中、八中的學(xué)生三問全做，其他學(xué)校的學(xué)生只做前兩問）

已知函數(shù)

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）實數(shù)的取值范圍是．（Ⅲ）見解析。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）因為由得，所以．然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判定單調(diào)性得到及結(jié)論

（2）由可知是偶函數(shù)．

于是對任意成立等價于對任意成立．然后求解導(dǎo)數(shù)，分析得到參數(shù)的范圍。

（3），

，

運用放縮法得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）由得，所以．

    由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．（6分）（3分）

    （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

于是對任意成立等價于對任意成立．（8分）（5分）

由得．

①當(dāng)時，． 此時在上單調(diào)遞增．

     故，符合題意．  （10分）（7分）

②當(dāng)時，．當(dāng)變化時的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．（13分）（9分）

綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．（14分）（10分）

（Ⅲ），

，

，

 

由此得，

故．（（14分）