Question

5．以原點O和A（4，2）為兩個頂點作等腰三角形OAB，∠OBA=90°，則點B的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （1，3）或（3，-1）
• B． （-1，3）或（3，1）
• C． （1，3）或（3，1）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 設(shè)B（x，y），利用三角形是等腰直角三角形得到向量$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AB}$，C為OA中點得到$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，由此得到關(guān)于B的坐標(biāo)的方程解之．

解答 解：設(shè)點B的坐標(biāo)為（x，y），則$\overrightarrow{OB}$=（x，y），$\overrightarrow{AB}$=（x-4，y-2）．
∵∠OBA=90°，即$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AB}$，∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$=0，
∴x（x-4）+y（y-2）=0，
即x²+y²-4x-2y=0，①
設(shè)OA的中點為C，則點C（2，1），$\overrightarrow{OC}$=（2，1），$\overrightarrow{BC}$=（x-2，y-1），
在等腰三角形AOB中，$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴2（x-2）+y-1=0，即2x+y-5=0，②
解①②得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$
故B點坐標(biāo)為（1，3）或（3，-1）；
故選A．

點評 本題考查了利用平面向量的坐標(biāo)運算、向量垂直求點的坐標(biāo)；關(guān)鍵是由已知適當(dāng)設(shè)點，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到向量垂直．