Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-y²=1的焦點是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的頂點，且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動點M在橢圓C上，且|MN|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，記直線MN在y軸上的截距為m，求m的最大值．

Answer 1

分析 （I）由題意求得橢圓的離心率，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)斜率為0時，即可求得m的值，設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式即可求得m的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性及最值，即可求得m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{5}$-y²=1的焦點是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的頂點，
且橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，
∴a=$\sqrt{6}$，${e}_{雙曲線}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$，${e}_{橢圓}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$=$\frac{c}{a}$，
∴c=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{6-5}=1$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線MN的斜率為0時，由|MN|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則M（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y），則y=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
則直線MN在y軸上的截距為$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
當(dāng)直線MN的斜率不存時，與y軸無焦點，
設(shè)MN為：y=kx+m，（k≠0）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+6k²）x²+12kmx+6m²-6=0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{12km}{1+6{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{6{m}^{2}-6}{1+6{k}^{2}}$，
△=（12km）²-4（1+6k²）（6m²-6）＞0，△=144k²-24m²+24＞0，∴m²＜6k²+1，
|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（-\frac{12km}{1+6{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{6{m}^{2}-6}{1+6{k}^{2}}]}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
整理，得${m}^{2}=\frac{39{k}^{2}-18{k}^{4}+7}{9{k}^{2}+9}$，
∴${m}^{2}=\frac{39{k}^{2}-18{k}^{4}+7}{9{k}^{2}+9}$＜6k²+1，
整理得：36k⁴+12k²+1＞0，即6k²+1＞0，k∈（-∞，0）∪（0，+∞），
則${m}^{2}=\frac{39{k}^{2}-18{k}^{4}+7}{9{k}^{2}+9}$=$\frac{-18（{k}^{2}+1）^{2}+75（{k}^{2}+1）-50}{9（{k}^{2}+1）}$，令k²+1=t，t＞1，
則f（t）=-2t-$\frac{50}{9t}$+$\frac{25}{3}$，t＞1，求導(dǎo)f′（t）=-2+$\frac{50}{9{t}^{2}}$，
令f′（t）＞0，解得：1＜t＜$\frac{5}{3}$，
令f′（t）＜0，解得：t＞$\frac{5}{3}$，
則f（t）在（1，$\frac{5}{3}$）單調(diào)遞增，在（$\frac{5}{3}$，+∞）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{3}$時，f（t）取最大值，最大值為$\frac{5}{3}$，
∴m的最大值為$\frac{5}{3}$，
綜上可知：m的最大值為$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計算能力，屬于中檔題．