Question

11．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，直線$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+y=1$經(jīng)過(guò)E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)G（2，0）作斜率不為0的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．設(shè)直線FM和FN的斜率為k₁，k₂．求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由直線方程求得與x軸和y軸的交點(diǎn)，即可求得橢圓的右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得k₁+k₂的值．

解答 解：（1）在方程$\frac{{\sqrt{2}}}{2}x+y=1$中，令x=0，則y=1，
∴上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），則b=1；
令y=0，則x=$\sqrt{2}$，
∴右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，0），
∴a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（2）證明：設(shè)直線MN的方程為y=k（x-2）（k≠0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
代入橢圓方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k（{x}_{2}-2）}{{x}_{2}-1}$=k[2-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$]=k[2-$\frac{\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}-2}{\frac{8{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}-\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}+1}$]=0，
∴k₁+k₂=0為定值…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理及直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．