Question

設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數(shù)n，都有，證明：.

（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見解析；（Ⅲ）答案詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，且當(dāng)時(shí)，.且，故，，，且當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而求；（Ⅱ）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），可求得，由取整函數(shù)得，，故，要證明，只需證明，故可聯(lián)想到，則；（Ⅲ）先證明充分性，當(dāng)時(shí)，，由取整函數(shù)的性質(zhì)得，故；必要性的證明，當(dāng)時(shí)，，則有.

試題解析：（Ⅰ）解：由等比數(shù)列的，，得，，，且當(dāng)時(shí)，.

所以，，，且當(dāng)時(shí)，.

即

（Ⅱ）證明：因?yàn)?，所以 ，.

因?yàn)?，

所以 ，.

由 ，得 .

因?yàn)?，

所以 ，

所以 ，即 .

（Ⅲ）證明：（充分性）因?yàn)?，，

所以，

所以對一切正整數(shù)n都成立.

因?yàn)?/span>，，

所以.

（必要性）因?yàn)閷τ谌我獾?/span>，，

當(dāng)時(shí)，由，得；

當(dāng)時(shí)，由，，得.

所以對一切正整數(shù)n都有.

由 ，，得對一切正整數(shù)n都有，

所以公比為正有理數(shù).

假設(shè) ，令，其中，且與的最大公約數(shù)為1.

因?yàn)?/span>是一個(gè)有限整數(shù)，

所以必然存在一個(gè)整數(shù)，使得能被整除，而不能被整除.

又因?yàn)?/span>，且與的最大公約數(shù)為1.

所以，這與（）矛盾.

所以.

因此，.

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、數(shù)列前n項(xiàng)和；3、充要條件.