Question

設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為q，且，表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)（如）,記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）證明： （）的充分必要條件為；

（Ⅲ）若對(duì)于任意不超過(guò)的正整數(shù)n，都有，證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）答案詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）答案詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，，，又，根據(jù)取整函數(shù)的性質(zhì)，得，，.進(jìn)而求；（Ⅱ）充分性的證明：因?yàn)?/span>，且，故，從而；必要性的證明，因?yàn)?/span>，故，又，，則有；（Ⅲ）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），可求得，由取整函數(shù)得，，故，要證明，只需證明，故可聯(lián)想到，則；

試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的，，所以，，.

所以，，.則.

（Ⅱ）證明：（充分性）因?yàn)?/span>，所以對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

因?yàn)?/span>，，所以.

（必要性）因?yàn)閷?duì)于任意的，，

當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，，得.

所以對(duì)一切正整數(shù)n都有.因?yàn)?/span>，，所以對(duì)一切正整數(shù)n都有.

（Ⅲ）證明：因?yàn)?/span>，所以，

.

因?yàn)?/span>，所以，.由，得.

因?yàn)?/span>，所以，

所以，即.

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、數(shù)列前n項(xiàng)和；3、充要條件.