Question

已知定點A（-2，0），動點B是圓F：（x-2）²+y²=64（F為圓心）上一點，線段AB的垂直平分線交BF于P．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在過點E（0，-4）的直線l交P點的軌跡于點R，T，且滿足

OR

•

OT

=

16

7

（O為原點）．若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4∴P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓，從而動點P的軌跡方程；
（II）假設(shè)存在滿足題意的直線L，設(shè)直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．∵

OR

•

OT

=

16

7

，∴x1x2+y1y2=

16

7

．從而求得直線方程．

解答：解：（I）由題意得|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8．故|PA|+|PF|=8＞|AF|=4
∴P點軌跡為以A、F為焦點的橢圓．
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∴p點軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（II）假設(shè)存在滿足題意的直線L．易知當(dāng)直線的斜率不存在時，

OR

•

OT

＜0不滿足題意．
故設(shè)直線L的斜率為k，R（x₁，y₁），T（x₂，y₂）．
∵

OR

•

OT

=

16

7

，∴x1x2+y1y2=

16

7

．
由

y=kx-4 x2 16 + y2 12 =1

得(3+4k2)x2-32kx+16=0．由△＞0得，(-32k)2-4(3+4k2)•16＞0解得k2＞

1

4

．…①．
∴x1+x2=

32k

3+4k2

，x1•x2=

16

3+4k2

．
∴y₁•y₂=（kx₁-4）（kx₂-4）=k²x₁x₂-4k（x₁+x₂）+16，
故x1x2+y1y2=

16

3+4k2

+

16k2

3+4k2

-

128k2

3+4k2

+16=

16

7

．解得k²=1．…②．
由①、②解得k=±1．
∴直線l的方程為y=±x-4．
故存在直線l：，x+y+4=0或x-y-4=0，滿足題意．

點評：本題考查橢圓定義的運(yùn)用及待定系數(shù)法求橢圓方程；（II）關(guān)鍵是將條件等價變形，同時應(yīng)注意分類討論．