Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0給出以下結(jié)論：
①f（0）=1；
②f（x）為R上的奇函數(shù)；
③|f（x）|為R上的偶函數(shù)；
④f（x）為R上的增函數(shù)
⑤f（x）+1為R上的減函數(shù)；
其中正確的結(jié)論有    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題設(shè)條件，令x=y=0，能夠求出f（0）；令y=-x，得f（x）+f（-x）=0，由此能夠判斷f（x）為R上的奇偶性；在R上取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，由x＞0時(shí)，f（x）＞0，能夠判斷f（x）為R上的增減性．
解答：解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），
∴f（0）=0，故①錯(cuò)誤；
令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）+f（-x）=0，
∴f（x）為R上的奇函數(shù)，故②正確，③錯(cuò)誤；
在R上取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）為R上的增函數(shù)，故④正確，⑤錯(cuò)誤．
故選②④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意抽象函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．