【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底,,為常數(shù)且)
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若對任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)時,求得,當(dāng)時,恒有.當(dāng)時,由,得,由,得,再由和分類討論,能求出結(jié)果.
(2)當(dāng)時,求得,推導(dǎo)出,再由和進(jìn)行分類討論經(jīng),利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)由題知時,,, ,
①當(dāng)時,得函數(shù)在上單調(diào)遞減;
②當(dāng)時,由,得,由,得,
Ⅰ.當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;
Ⅱ.當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(2)時,,
則,
由(1)知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時,,即,
∴.
①當(dāng)時,在區(qū)間上恒成立,即在上單調(diào)遞增,
∴(合題意).
②當(dāng)時,
由,得,且在上單調(diào)遞增,
又,,,,
故在上存在唯一的零點(diǎn),當(dāng)時,,
即在上遞減,此時,知在上遞減,
此時與已知矛盾(不合題意),
綜上:滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在《九章算術(shù)》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖,在鱉臑中,平面,,且,過點(diǎn)分別作于點(diǎn),于點(diǎn),連結(jié),當(dāng)的面積最大時,__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校夏令營有3名男同學(xué)和3名女同學(xué),其年級情況如下表:
一年級 | 二年級 | 三年級 | |
男同學(xué) | A | B | C |
女同學(xué) | X | Y | Z |
現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性相同)
用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果
設(shè)為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,根據(jù)性別分層,采用分層抽樣的方法從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對抽取到的100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的2×2列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
(2)在抽取到的女生中按(1)中的選課情況進(jìn)行分層抽樣,從中抽出9名女生,再從這9名女生中隨機(jī)抽取4人,設(shè)這4人中選擇“地理”的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
選擇“物理” | 選擇“地理” | 總計 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
總計 |
附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,短軸長是2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的下頂點(diǎn)為D,過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線l1,l2,這兩條直線與橢圓C的另一個交點(diǎn)分別為M,N.設(shè)l1的斜率為k(k≠0),△DMN的面積為S,當(dāng),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個用戶,根據(jù)用戶對產(chǎn)品的滿意度評分,得到地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表.
地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖如下:
地區(qū)用戶滿意度評分的頻數(shù)分布表如下:
(1)在圖中作出地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖,并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可).
地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖
(2)根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度分為三個等級:
公司負(fù)責(zé)人為了解用戶滿意度情況,從B地區(qū)調(diào)查8戶,其中有兩戶滿意度等級是不滿意.求從這8戶中隨機(jī)抽取2戶檢查,抽到不滿意用戶的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面ABCD⊥平面CDEF,且四邊形ABCD是梯形,四邊形CDEF是矩形,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=CD,M是線段DE上的動點(diǎn).
(1)試確定點(diǎn)M的位置,使BE∥平面MAC,并說明理由;
(2)在(1)的條件下,四面體E-MAC的體積為3,求線段AB的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在負(fù)實(shí)數(shù)a,使,函數(shù)有最小值-3.
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