【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,短軸長是2.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)橢圓C的下頂點為D,過點D作兩條互相垂直的直線l1,l2,這兩條直線與橢圓C的另一個交點分別為M,N.設(shè)l1的斜率為k(k≠0),△DMN的面積為S,當(dāng),求k的取值范圍.

【答案】(1);(2)

【解析】

(1)由e,2b=2,a2b2c2構(gòu)造方程組,解出a,b即可得橢圓方程;(2)設(shè)l1的方程為ykx-1代入橢圓方程,求出M的坐標(biāo),可得|DM|,用代替k,可得|DN|,求出△DMN的面積S,可得,解不等式>可得k的取值范圍.

(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,則由題意得又a2=b2+c2,解得a=2,b=1,

橢圓方程為+y2=1.

(2)由(1)知,橢圓C的方程為+y2=1,

所以橢圓C與y軸負(fù)半軸交點為D(0,-1).

因為l1的斜率存在,所以設(shè)l1的方程為y=kx-1.

代入+y2=1,得M,

從而|DM|=.

用-代替k得|DN|=.

所以DMN的面積S=·×.

,

因為>,即>

整理得4k4-k2-14<0,解得-<k2<2,

所以0<k2<2,即-<k<0或0<k<.

從而k的取值范圍為(-,0)∪(0,).

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a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac;

③若數(shù)列{an2}是等比數(shù)列,則數(shù)列{an}也是等比數(shù)列;

④若,則

A.3B.2C.1D.0

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A.0B.1C.2D.3

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