【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐中,,,,點在上,且.
(1)證明:平面;
(2)求以為棱,與為面的二面角的大小
(3)在棱上是否存在一點,使平面?證明你的結論.
【答案】(1)證明見解析.(2).(3)存在;證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)菱形的性質,結合勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理進行證明即可;
(2)作交于,根據(jù)平行線的性質可以得到平面.
作于,連結.,即為二面角的平面角,通過正切的定義求解即可;
(3)以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,過點且垂直于面的直線為軸,建立空間直角坐標系,可知軸垂直平分,利用空間向量的共線向量的定義,結合線面垂直的判定定理和性質定理進行求解即可.
(1)證明:因為底面是菱形,,所以.
在中,由,知.同理,.所以平面;
(2)解:作交于,由平面,知平面.
作于,連結.因為平面,所以,而,所以平面,而平面,
則,即為二面角的平面角.
又,所以,,.
從而,;
(3)由(1)知平面,以為原點,所在直線為軸,所在直線為軸,過點且垂直于面的直線為軸,建立空間直角坐標系,可知軸垂直平分.
則,,,.
設;
∴.
設為平面的法向量,
則有:.
令得.
若平面,則有,
∴.
解得,此時為的中點.
因此在棱上存在一點,使平面.
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【題目】已知橢圓的離心率為,其中左焦點(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為,上、下頂點分別為、,點在橢圓上,且異于點、,直線、與直線: 分別交于點、,且面積的最大值為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求線段的長的最小值.
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【題目】已知函數(shù)的圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式及其對稱軸方程;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值,并指出取得最值時的的值.
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【題目】市場上有一種新型的強力洗衣液,特點是去污速度快.已知每投放(,且)個單位的洗衣液在一定量水的洗衣機中,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(分鐘)變化的函數(shù)關系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗,當水中洗衣液的濃度不低于(克/升)時,它才能起到有效去污的作用.
(1)當一次投放個單位的洗衣液時,求在分鐘時,洗衣液在水中釋放的濃度.
(2)在(1)的情況下,即一次投放個單位的洗衣液,則有效去污時間可達幾分鐘?
(3)若第一次投放個單位的洗衣液,分鐘后再投放個單位的洗衣液,請你寫出第二次投放之后洗衣液在水中釋放的濃度(克/升)與時間(分鐘)的函數(shù)關系式,求出最低濃度,并判斷接下來的四分鐘是否能夠持續(xù)有效去污.
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【題目】如圖,在三棱柱中,側棱底面,,,,分別為棱,,的中點.
(1)求證:;
(2)若,,求三棱錐的體積;
(3)判斷直線與平面的位置關系,并說明理由.
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