Question

過定點P(2，1)作直線l，分別與x軸，y軸的正向交于A、B兩點，求使△AOB面積最小時的直線l方程．

 

Answer 1

答案：
解析：

本題屬“條件最值”問題，常見求最值的方法有：判別式法、換元法、均值不等式法． 　　解法一：設所求直線l斜率為k，得點斜式方程為y-1=k(x-2) 　　令x=0，得B點坐標為(0，1-2k) 　　令y=0，得A點坐標為(，0) 　　其中k＜0，2-＞0，1-2k＞0 　　∴　S△AOB= 　　　　　　= 　　　　　　= 　　其中≥ 　　當且僅當，即時，的最小值為4，故S△AOB的最小值為4． 圖7-4 　　解法二：過< i>P作x軸，y軸的垂線PM、PN，如圖7-4所示，并設q  =∠PAM=∠BPN． 　　S=S□MPNO+S△PAM+S△PBN 　　 = 　　 = 　　≥ 　　故當時 　　即tanq   時，Smin=4 　　解法三：設直線l的方程為 　　因為(常數(shù))，≥ 　　所以≤1，即≤． 　　當且僅當時，有最大值，即ab有最小值8，S△AOB的最小值仍為4， 　　求得a=4，b=2． 　　解法四：設所求直線l的方程為＞(＜0，＞0) 　　因為直線過定點P(2，1) 　　所以，即 　　又因S△AOB= 　　　　　　　　　= 　　　　　　　 　 =[] 　　　　　　　　　≥[] 　　　　　　　 　 =4 　　當且僅當，即時取等號． 　　把=4代入中得=2 　　以上方法均可得到所求直線方程為x+2y-4=0．