過定點(diǎn)P(2，1)作直線l，分別與x軸，y軸的正向交于A、B兩點(diǎn)，求使△AOB面積最小時(shí)的直線l方程．

 

答案：
解析：

本題屬“條件最值”問題，常見求最值的方法有：判別式法、換元法、均值不等式法．

　　解法一：設(shè)所求直線l斜率為k，得點(diǎn)斜式方程為y-1=k(x-2)

　　令x=0，得B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1-2k)

　　令y=0，得A點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)

　　其中k＜0，2-＞0，1-2k＞0

　　∴　S△AOB=

　　　　　　=

　　　　　　=

　　其中≥

　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最小值為4，故S△AOB的最小值為4．

圖7-4

　　解法二：過<i>P作x軸，y軸的垂線PM、PN，如圖7-4所示，并設(shè)q  =∠PAM=∠BPN．

　　S=S□MPNO+S△PAM+S△PBN

　　 =

　　 =

　　≥

　　故當(dāng)時(shí)

　　即tanq   時(shí)，Smin=4

　　解法三：設(shè)直線l的方程為

　　因?yàn)?img align="absmiddle" width=61 height=41 src="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/6060/0051/0012/489d5452d2fbc6340a667ab818251020/C/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1092">(常數(shù))，≥

　　所以≤1，即≤．

　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，即ab有最小值8，S△AOB的最小值仍為4，

　　求得a=4，b=2．

　　解法四：設(shè)所求直線l的方程為＞(＜0，＞0)

　　因?yàn)橹本�過定點(diǎn)P(2，1)

　　所以，即

　　又因S△AOB=

　　　　　　　　　=

　　　　　　　 　 =[]

　　　　　　　　　≥[]

　　　　　　　 　 =4

　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．

　　把=4代入中得=2

　　以上方法均可得到所求直線方程為x+2y-4=0．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知雙曲線方程為2x2-y2=2 ． 
(1) 過定點(diǎn)P(2 ，1) 作直線交雙曲線于P1，P2兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P(2 ，1) 是弦P1P2 的中點(diǎn)時(shí)，求此直線方程．    
(2) 過定點(diǎn)Q(1 ，1) 能否作直線l ，使l 與此雙曲線相交于Q1，Q2兩點(diǎn)，且Q 是弦Q1Q2的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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過定點(diǎn)P(2，1)作直線l分別交x軸正向和y軸正向于A、B，使△AOB(O為原點(diǎn))的面積最小，則l的方程為


  1. A.
    x+y-3＝0
  2. B.
    x+3y-5＝0
  3. C.
    2x+y-5＝0
  4. D.
    x+2y-4＝0

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