Question

若a．b．c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．

Answer 1

分析：先根據(jù)基本不等式可得

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可得

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立，兩邊同取常用對數(shù)，即可證得結(jié)論．

解答：證明：∵a，b，c∈R⁺，
∴

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0…（4分）
又上述三個等式中等號不能同時成立
∴

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立．…（6分）
lg（

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

）＞lgabc
∴lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．…（12分）

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．