Question

若x，y滿足

x+y-3≥0 x-y+1≥0 3x-y-5≤0

．求：
（1）z=2x+y的最小值；
（2）z=

y+x

x

的最大值；
（3）z=x²+y²的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由約束條件作出可行域．
（1）化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合求出最優(yōu)解，得到最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；
（2）由

y+x

x

的幾何意義，即可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率求解；
（3）由x²+y²的幾何意義，即可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方求解．

解答： 解：如圖，作出滿足已知條件的可行域?yàn)椤鰽BC內(nèi)（及邊界）區(qū)域，

其中A（1，2），B（2，1），C（3，4）．
（1）目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，表示直線l：y=-2x+z，z表示該直線縱截距，當(dāng)l過(guò)點(diǎn)A（1，2）時(shí)縱截距有最小值，故z_min=4．
（2）目標(biāo)函數(shù)z=

y

x

+1，記k=

y

x

．
則k表示區(qū)域中的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，斜率最大，
即k_max=2，即zmax=(

y+x

x

)max=3．
（3）目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)系點(diǎn)的距離的平方，
又原點(diǎn)O到AB的距離d=

|3|

2

=

3 2

2

且垂足是D(

3

2

，

3

2

)在線段AB上，
故OD²≤z≤OC²，即z∈[

9

2

，25]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．