Question

設(shè)f（x）=2（1+sinx）sinx+（sinx+cosx）（cosx-sinx）
（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知常數(shù)ω＞0，若y=f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
 （3）設(shè)集合A{x|

π

6

≤x≤

2π

3

}，B={x||f（x）-m|＜2}，若A⊆B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，借助于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式即可；
（2）確保函數(shù)y=f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數(shù)，則

T

2

≥

2π

3

，然后，確定ω的取值范圍；
（3）結(jié)合集合之間的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）f（x）=2sinx+2sin²x+cos²x-sin²x
=2sinx+sin²x+cos²x
=2sinx+1
∴f（x）=2sinx+1，
∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）=2sinx+1；
（2）∵y=f（ωx）
=2sinωx+1，
∵y=f（ωx）在區(qū)間[-

π

2

，

2π

3

]上是增函數(shù)，
∴

T

2

≥

2π

3

，
∴

π

ω

≥

2π

3

，
∴ω≤

3

2

，
∴0＜ω≤

3

2

，
∴ω的取值范圍（0，

3

2

]；
（3）∵

π

6

≤x≤

2π

3

，
∴sinx∈[-

3

2

，1]，
∴A={y|-

3

2

≤y≤1}，
∵|f（x）-m|＜2，
∴

m-3

2

＜y＜

m+1

2

，（設(shè)y=f（x）），
∴B={y|

m-3

2

＜y＜

m+1

2

}，
∵A⊆B，
∴

m+1 2 ＞1 m-3 2 ＜- 3 2

，
∴1＜m＜3-

3

，
實(shí)數(shù)m的取值范圍（1，3-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí)，考查比較綜合，屬于中檔題．