Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）求證：平面ADB⊥平面BDC；
（2）設(shè)E為BC的中點，求直線AE一平面ABD所成角的正弦值；
（3）設(shè)BD=1，求點D到面ABC的距離．

Answer 1

分析：（1）注意折疊前后的不變關(guān)系，當(dāng)△ADB折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，從而利用線面垂直的判定定理可證明AD⊥平面BDC，再利用面面垂直的判定定理即可得證；
（2）以D為坐標(biāo)原點，以DB、DA所在直線為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BD=1，則先寫出相關(guān)點的坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，再求平面ABD的法向量，利用夾角公式計算

AE

與法向量的夾角的余弦值，最后利用線面角的正弦值即為線線角的余弦值的絕對值，即可得所求；
（3）先求平面ABC的法向量，再利用點到面的距離公式，即斜線DB的方向向量在平面法向量上的投影的長度，即可計算所求距離

解答：解：（1）證明：∵折起前AD是BC邊上的高，∴當(dāng)△ADB折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC
（2）如圖：以D為坐標(biāo)原點，以DB、DA所在直線為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BD=1
易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（

3

2

，

3 3

2

，0），A（0，0，

3

），E（

5

4

，

3 3

4

，0），

AE

=（

5

4

，

3 3

4

，-

3

），
取平面ABD的法向量為

n

=（0，1，0）
∴cos＜

AE

，

n

＞=

AE • n

| AE |•| n |

=

3 3 4

5 2

=

3 3

10

設(shè)直線AE與平面ABD所成角為θ，則sinθ=

3 3

10

∴直線AE與平面ABD所成角的正弦值為

3 3

10

（3）由（2）知，

BC

=（

1

2

，

3 3

2

，0），

BA

=（-1，0，

3

），設(shè)

m

=（x，y，z）為平面ABC的法向量，
則

m • BC = 1 2 x+ 3 2 y=0 m • BA =-x+ 3 z=0

，取

m

=（3

3

，-1，3）

則D點到面ABC的距離d=

| DB • m |

| m |

=

3 3

37

=

3 111

37

點評：本題綜合考查了立體幾何中線面垂直、面面垂直的位置關(guān)系及其判定定理，利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量求空間線面角、點到面的距離的方法，屬中檔題