Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，則下列四個命題中真命題的序號為______．
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

Answer 1

由（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₂-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0即a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，從而可得等差數(shù)列的公差d＜0
③a₂₀₀₉＜a₂正確
把已知的兩式相加可得（a₂-1）³+2010（a₂-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₂+a₂₀₀₉-2）•[（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010]=0
結(jié)合上面的判斷可知（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010＞0
所以a₂+a₂₀₀₉=2，而s2010=

a1+a2010

2

×2010=2010×

a2+a2009

2

=2010②正確
由于d＜0，a₂₀₁₀＜a₂₀₀₉＜1，則S₂₀₀₉=S₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2010-a₂₀₁₀＞2009①錯誤
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，結(jié)合等差數(shù)列的列的性質(zhì)，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆
從而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅
④s₂₀₀₉-s₂=a₃+a₄+…+a_{2009=2007a1006}＞0，故④錯誤
故答案為：②③