Question

三題中任選兩題作答
（1）（2011年江蘇高考）已知矩陣，向量，求向量α，使得A²α=β
（2）（2011年山西六校�？迹┮灾苯亲鴺�(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，-5），點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，若直線l過點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑．
①求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；  ②試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．
（3）若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)向量=，由A²α=β，利用矩陣的運(yùn)算法則，用待定系數(shù)法可得x 和 y 的值，從而求得向量．
（2）①根據(jù)題意直接求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
②先化直線l的參數(shù)方程為普通方程，求出圓心坐標(biāo)，用圓心的直線距離和半徑比較可知位置關(guān)系．
（3）利用柯西不等式，即可求得的最小值．
解答：解：（1）、A²==，設(shè)向量=，由 A²= 可得
=，
∴，解得 x=-1，y=2，
∴向量=．
（2）①直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）
圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ．（6分）
②因?yàn)镸（4，）對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為（0，4）
直線l化為普通方程為x-y-5-=0
圓心到l的距離d==＞4，
所以直線l與圓C相離．（10分）
（3）∵正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，
∴（）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）²，
即≥1
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)，取等號(hào)
∴當(dāng)a=b=c=時(shí)，的最小值為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，參數(shù)方程與普通方程的互化，矩陣的運(yùn)算法則，絕對(duì)值不等式的解法．第（3）小題考查求最小值，解題的關(guān)鍵是利用柯西不等式進(jìn)行求解，屬于中檔題．