Question

已知函數．

⑴若，解方程；

⑵若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

⑶是否存在實數，使不等式對一切實數恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當時，, 故有,

,                                 

當時，由，有，解得或

當時，恒成立                            

∴ 方程的解集為                       

（2）,                   

若在上單調遞增，則有

， 解得，                              

∴  當時，在上單調遞增                       

（3）設

則                

不等式對一切實數恒成立，等價于不等式對一切實數恒成立．

①若，則，即，取，此時

，

即對任意的，總能找到，使得，

∴不存在，使得恒成立．                    

②若，，值域，

所以恒成立．                                    ③若，

當時，單調遞減，其值域為，

由于，所以成立．

當時，由，知， 在處取最小值，

令，得，又，所以

綜上，.