Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值；
（2）作出函數(shù)g（x）=|f（x）|的圖象，并根據(jù)圖象寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程|f（x）|-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)圖象的對稱軸x=2，討論區(qū)間與對稱軸的位置關(guān)系，從而求最小值；
（2）根據(jù)對折變換原則，可得函數(shù)圖象，進(jìn)而得到單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程|f（x）|-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，則g（x）=|f（x）|的圖象與y=x+a至少有三個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-4x+3的圖象是開口朝上，對稱軸為x=2的拋物線；
當(dāng)t＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為f（t）=t²-4t+3；
當(dāng)t≤2≤t+1，即1≤t≤2時，g函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為f（2）=-1；
當(dāng)2＞t+1，即t＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為f（t+1）=t²-2t；
綜上所述：函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}-4t+3，t＞2\\-1，1≤t≤2\\{t}^{2}-2t，t＜1\end{array}\right.$．
（2）函數(shù)g（x）=|f（x）|的圖象如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，2]，[3，+∞），
（3）若關(guān)于x的方程|f（x）|-a=x至少有三個不相等的實數(shù)根，
則g（x）=|f（x）|的圖象與y=x+a至少有三個交點(diǎn)，
結(jié)合（2）中圖象可得：
當(dāng)a=-1時，g（x）=|f（x）|的圖象與y=x+a有三個交點(diǎn)，
當(dāng)y=x+a與y=-（x²-4x+3）相切時，g（x）=|f（x）|的圖象與y=x+a有三個交點(diǎn)，
此時，△=9-4（3+a）=0，解得：a=-$\frac{3}{4}$，
故滿足條件的a的取值范圍為[-1，-$\frac{3}{4}$]

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法與應(yīng)用，函數(shù)圖象的對折變換，方程的根與函數(shù)圖象的零點(diǎn)，難度中檔．