Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式f（x）≥3-2a，對(duì)x∈[1，2]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式即|x+1|+|x-1|≤5，再利用絕對(duì)值的意義求得它的解集．
（2）由題意可得|x-a|≥2-2a-x恒成立，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≤5，即|x+1|+|x-1|≤5．
而|x+1|+|x-1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
由于-2.5和2.5對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5，
故|x+1|+|x-1|≤5的解集為[-2.5，2.5]．
（2）由于當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=|x+1|+|x-a|≥3-2a恒成立，
即x+1+|x-a|≥3-2a恒成立，即|x-a|≥2-2a-x恒成立．
故有函數(shù)y=|x-a|的圖象在[1，2]上不能位于y=2-2a-x的下方，
如圖所示：
故有|a-a|≥2-2a-a，∴a≥$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．