Question

10．f（x）=2x+sinx為定義在（-1，1）上的函數(shù)，則不等式f（1-a）+f（1-2a）＜0的解集是（$\frac{2}{3}$，1）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，證出f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．再由導(dǎo)數(shù)恒大于0，得到f（x）是定義在（-1，1）上的增函數(shù)．由此將不等式f（1-a）+f（1-2a）＜0等價轉(zhuǎn)化為$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜2a-1＜1}\\{1-a＜2a-1}\end{array}\right.$，解之即可得到原不等式的解集．

解答 解：∵函數(shù)解析式為f（x）=2x+sinx，
∴f（-x）=-2x+sin（-x）=-（2x+sinx）=-f（x），
因此函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
又∵函數(shù)f（x）導(dǎo)數(shù)f′（x）=2+cosx＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的增函數(shù)．
因此不等式f（1-a）+f（1-2a）＜0，
即f （1-a）＜-f （1-2a）=f（2a-1）
可得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜2a-1＜1}\\{1-a＜2a-1}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜2}\\{0＜a＜1}\\{a＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
即有$\frac{2}{3}$＜a＜1．
∴原不等式的解集為（$\frac{2}{3}$，1）．
故答案為：（$\frac{2}{3}$，1）．

點評 本題給出函數(shù)f（x）=2x+sinx，要求我們利用單調(diào)性和奇偶性解關(guān)于x的不等式f （1-a）+f （1-2a）＜0，著重考查了函數(shù)的基本性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和一無二次不等式的解法等知識，屬于中檔題．